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    行星齿轮传动动力学模型直齿轮副的啮合轮齿对数随齿轮的转动发生单双对的交替变化，该变化使其啮合刚度发生周期性变化。为了便于进行数值分析，绝大多数齿轮动力学的研究均将啮合刚度展开为Fourier级数，公式如下：k（t）=k+l=1（1）式中，k为平均啮合刚度；fm为啮合频率；gl、hl为Fourier级数展开项系数。

　　考虑到啮合阻尼c的时变性，可将其表示为c（t）=2k（t）Ie（2）式中，为啮合阻尼系数；Ie为系统等效转动惯量。

　　数值分析结果以某单级行星齿轮减速器为例进行数值分析和实验研究，其具体参数为：太阳轮、行星轮、内齿圈的齿数分别为26、19、64，模数为2mm，行星轮个数为3，压力角为224，齿宽为20mm，外啮合重合度为15，内啮合重合度为175.

　　设传动中各行星轮的质量、转动惯量均相同，太阳轮、内齿圈与每个行星轮的啮合刚度均相等，太阳轮为输入构件，系杆为输出构件，内齿圈作为固定构件，通过减小内齿圈轮齿有效宽度或采用聚合物基复合材料内齿圈来降低内齿圈-行星轮的啮合刚度。采用有限元模型，按照多啮合点计算法，求出轮齿上20个啮合点处的单齿刚度，然后按照啮合点的对应关系求出结合轮齿的啮合刚度，其时变啮合刚度曲线如所示，其中a和b分别为刚性太阳轮-行星轮的啮合刚度、刚性内齿圈-行星轮的啮合刚度，c为大弹性内齿圈-行星轮的啮合刚度。从可以看出，当采用大弹性内齿圈后，内啮合齿轮副的时变啮合刚度发生了较大的变化。

　　在输入轴转速为2500r/min、负载为35Nm的工况下，对三种不同的太阳轮-行星轮啮合刚度（平均啮合刚度）的大弹性内齿圈行星传动系统的啮合动载荷进行计算，其中刚性齿轮副的相对啮合阻尼系数为015，含大弹性齿轮副的啮合阻尼系数为03，齿轮副的静态传动误差幅值为20m，采用变步长Runge-Kutta法对式（3）和式（4）进行数值求解，系统动载荷计算结果如和所示。

 从结果可以看出，在含有大弹性内齿圈的行星传动系统中，内齿圈与行星轮的平均啮合刚度为kr=025108N/m，当太阳轮-行星轮啮合刚度较低时，二者的啮合动载荷小，不会发生脱齿现象。随着太阳轮-行星轮啮合刚度的增大，太阳轮-行星轮的啮合动载荷急剧增大，发生严重的脱齿现象。当啮合刚度较大时，太阳轮-行星轮的啮合动载荷急剧增大，同时出现峰值稍小的动载荷，该动载荷的出现使齿轮在相同周期内承受冲击的次数增加一倍。从可以看出，当太阳轮-行星轮啮合刚度较低时，啮合刚度对内齿圈-行星轮的啮合动载荷影响不大，然而当太阳轮与行星轮啮合刚度较高时，内齿圈-行星轮的啮合动载荷波动次数增大一倍。动载荷波动次数增大一倍表现为啮合频谱中齿轮啮合二倍频的出现。

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